Di
dalam masalah yang berkaitan dengan program linear, kita akan menghadapi persoalan pengoptimuman
(optimasi) suatu fungsi linear. Pengoptimuman
ini dapat berupa pemaksimuman atau peminimuman. Artinya, kita akan mencari nilai maksimum atau nilai
minimum dari fungsi tujuan
yang berupa fungsi linear tersebut.
Untuk
memecahkan masalah program linear, kita sebelumnya harus dapat menerjemahkan bahasa permasalahan ke
dalam bahasa matematika. Bahasa
atau rumusan matematika ini disebut model matematika. Dalam menyusun atau merumuskan model matematika,
kita harus dapat menyatakan
besaran-besaran masalah sebagai
variabel-variabel. Selanjutnya
adalah merumuskan hubungan matematika sesuai dengan ketentuan dalam masalah tersebut.
Perhatikan contoh 1.6 berikut!
Contoh 1.6
Ibu
membeli 3 kg jeruk dan 5 kg apel seharga Rp72.500,00. Sedangkan Ihsan hanya membayar Rp17.500,00 untuk 1
kg jeruk dan 1 kg apel. Buatlah model
matematika dari permasalahan tersebut!
Penyelesaian:
Langkah pertama
adalah menyatakan besaran-besaran dalam permasalahan sebagai
variabel-variabel. Misalkan untuk harga 1 kg jeruk dinyatakan dengan x rupiah, sedangkan
untuk harga 1 kg apel dinyatakan dengan y rupiah.
Langkah
berikutnya adalah merumuskan hubungan matematika sesuai
ketentuan dalam permasalahan. Berdasarkan permasalahan pada contoh
1.6 diperoleh hubungan:
3x + 5y = 72.500
x + y = 17.500
Jadi,
model matematikanya adalah 3x + 5y =
72.500 dan x + y =
17.500
dengan x, y ∈ C.
Pada
prinsipnya, menyusun atau merumuskan model matematika
dalam suatu masalah
program linear adalah menentukan fungsi tujuan,
fungsi objektif, atau fungsi sasaran beserta kendala yang harus dipenuhi
dalam masalah program linear tersebut. Perhatikan contoh 1.7 berikut!
Contoh 1.7
Kakak
akan membuat dua jenis roti, yaitu roti A dan roti B.
Roti A membutuhkan 1 kg tepung terigu dan 0,5 kg
telur. Sedangkan roti B membutuhkan 1,5 kg tepung terigu dan 1 kg telur. Kakak hanya mempunyai 15 kg tepung terigu dan 40 kg
telur. Jika banyaknya roti A yang akan dibuat
adalah x dan banyaknya roti B
yang akan dibuat adalah y, maka tentukan model
matematikanya!
Penyelesaian:
Agar lebih mudah dalam
membuat model matematikanya, persoalan tersebut disajikan dalam tabel terlebih
dahulu.
Tabel 1.3
Roti A (x) Roti B (y) Persediaan bahan
Tepung
terigu x 1,5y 15
Telur 0,5x y 10
Banyaknya
tepung terigu yang dibutuhkan untuk membuat kedua roti adalah (x + 1,5y) kg. Karena persediaan tepung terigu adalah 15 kg, maka diperoleh
hubungan:
x +
1,5 y ≤ 15 atau 2x +
3y ≤ 30
Sedangkan
banyaknya telur yang dibutuhkan untuk membuat kedua roti adalah (0,5x + y)
kg. Karena persediaan telur adalah 10 kg, maka diperoleh hubungan:
0,5x + y ≤ 10 atau x +
2y ≤ 20
x dan y
adalah banyaknya roti A dan roti B
sehingga x dan y tidak mungkin negatif. Oleh karena itu, x
dan y harus memenuhi hubungan:
x ≥
0 dan y
≥ 0, dengan x, y ∈ C.
Jadi,
model matematikanya adalah 2x + 3y ≤
30, x
+ 2y
≤ 20, x ≥
0 dan y
≥ 0, dengan x, y ∈ C.
Contoh 1.8
Seorang
penjahit membuat dua jenis pakaian, yaitu pakaian anak-
anak dan pakaian dewasa. Satu pakaian
anak-anak memerlukan waktu
1 jam untuk tahap pemotongan, 0,5 jam untuk
tahap pengobrasan, dan
1,5 jam untuk tahap penjahitan.
Sedangkan satu pakaian dewasa
memerlukan waktu 1,5 jam untuk tahap pemotongan, 1 jam ntuk
pengobrasan, dan 2,5 jam untuk tahap
penjahitan. Penjahit tersebut
memiliki waktu untuk mengerjakan
pesanan selama 20 jam untuk tahap
pemotongan, 15 jam untuk tahap pengobrasan, dan 40 jam untuk tahap
penjahitan.
Keuntungan bersih pakaian anak-anak dan pakaian dewasa
adalah Rp15.000,00 dan
Rp30.000,00. Buatlah model matematika dari
masalah program linear tersebut agar diperoleh keuntungan sebesar-
besarnya!
Penyelesaian:
Misalkan
banyaknya pakaian anak-anak = x dan banyaknya pakaian
dewasa = y. Agar lebih mudah, persoalan di atas
disajikan dalam bentuk tabel
sebagai berikut!
Tabel 1.4
Pakaian Pakaian Waktu
anak-anak dewasa
(x) (y)
Pemotongan 1 x 1,5x 20
Pengobrasan 0,5x 1 y 15
Penjahitan 1,5x 2,5y 40
Keuntungan 15.000x 30.000y
Waktu
yang digunakan untuk tahap pemotongan kedua jenis pakaian adalah
(x +1,5y)
jam dengan waktu yang tersedia 20 jam.
Sehingga diperoleh hubungan:
x +
1,5y ≤ 20 atau 2x +
3y ≤ 40
Waktu
yang digunakan untuk tahap pengobrasan kedua jenis pakaian adalah (0,5x + y)
jam dengan waktu yang tersedia 15 jam. Sehingga diperoleh hubungan:
0,5x + y ≤ 15
atau x + 2y ≤ 30
Waktu yang digunakan
untuk tahap penjahitan kedua jenis pakaian adalah
(1,5x +2,5y)
jam dengan waktu yang tersedia 40 jam. Sehingga diperoleh hubungan:
1,5x + 2,5y ≤ 40
atau 3x + 5y ≤ 80
x dan y
menyatakan banyaknya pakaian anak-anak dan pakaian dewasa dan harus merupakan bilangan cacah,
sehingga x ≥ 0 dan y ≥ 0 dengan x, y ∈ C.
Keuntungan
yang diperoleh dari kedua jenis pakaian adalah: z
= 15.000x + 30.000y
Jadi, model matematika dari masalah di
atas adalah:
2x
+ 3y
≤ 40, x
+ 2y
≤ 30, 3x
+ 5y
≤ 80, x ≥
0, dan y
≥ 0, dengan x
dan y
∈ C. Bagian ini adalah sistem pertidaksamaan
linear dua variabel yang merupakan
kendala.
z =
15.000x + 30.000y
Bagian
ini adalah fungsi linear dua variabel yang merupakan fungsi tujuan, fungsi objektif, atau fungsi sasaran yang akan
ditentukan nilai maksimumnya.
Kita
telah mempelajari cara membuat model matematika masalah program linear yang berhubungan dengan
pemaksimuman suatu fungsi linear.
Sekarang, perhatikan contoh 1.9 berikut!
Contoh 1.9
Seorang
praktikan membutuhkan dua jenis larutan, yaitu larutan A
dan larutan B
untuk eksperimennya. Larutan A mengandung 10 ml
bahan
I dan 20 ml bahan II.
Sedangkan larutan B mengandung 15 ml bahan
I
dan 30 ml bahan II.
Larutan A dan larutan B
tersebut akan digunakan
untuk membuat larutan C
yang mengandung bahan I sedikitnya 40 ml
dan bahan II sedikitnya 75 ml. Harga tiap ml
larutan A
adalah Rp5.000,00
dan tiap ml larutan B
adalah Rp8.000,00. Buatlah model matematikanya
aga biaya untuk membuat
larutan C dapat ditekan sekecil-kecilnya!
Penyelesaian:
Misalkan
banyaknya larutan A adalah x
dan banyaknya larutan B adalah y. Agar lebih mudah,
persoalan program linear tersebut disajikan dalam
tabel seperti berikut ini.
Tabel 1.5
Larutan A (x) Larutan B (y) Larutan C
Bahan
I 10 x 15 y 40
Bahan
II 20 x 30 y 75
Biaya 5.000x 8.000y
Bahan
I yang terkandung dalam laruan C sebanyak (10x +
15y) ml, padahal
larutan C mengandung bahan I sedikitnya 40 ml.
Sehingga diperoleh hubungan:
10x + 15y ≥ 40
atau 2x + 3y ≥ 8
Bahan II yang
terkandung dalam larutan C sebanyak (20x + 30y) ml, padahal larutan C
mengandung bahan II sedikitnya 75 ml. Sehingga diperoleh hubungan:
20x + 30y ≥ 75
atau 4x + 6y ≥ 15
x dan y
menyatakan banyaknya larutan sehingga tidak mungkin negatif
dan harus merupakan
bilangan real. Sehingga
diperoleh hubungan: x ≥ 0 dan y ≥ 0 dengan x, y ∈ R.
Biaya
untuk membuat larutan C adalah:
z
= 5.000x + 8.000y
Jadi, model matematika dari masalah di
atas adalah:
2x + 3y ≥ 8,
4x + 6y ≥
15, x ≥ 0, dan y ≥ 0
dengan x, y ∈ R.
Bagian
ini adalah sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang merupakan kendala.
z =
5.000x + 8.000y
Bagian
ini adalah fungsi linear dua variabel yang merupakan fungsi tujuan, fungsi objektif, atau fungsi
sasaran yang akan ditentukan nilai minimumnya.